\(\fbox{例1}\)
已知函数\(f(x)＝-x^2+2ex+m-1，g(x)＝x+\cfrac{e^2}{x}(x>0)\)．
(1)若\(y＝g(x)-m\)有零点，求\(m\)的取值范围；
(2)确定\(m\)的取值范围，使得\(g(x)－f(x)＝0\)有两个相异实根．
解析：(1) 因为\(g(x)＝x+\cfrac{e^2}{x}\ge 2\sqrt{e^2}=2e\)，等号成立的条件是\(x=e\)，
故\(g(x)\)的值域是\([2e，+\infty)\)，
因而只需\(m≥2e\)，则\(y＝g(x)-m\)就有零点。
(2) 若\(g(x)-f(x)＝0\)有两个相异实根，即\(g(x)\)与\(f(x)\)的图像有两个不同的交点，
作出\(g(x)＝x+\cfrac{e^2}{x}(x>0)\)的大致图像如图．
因为\(f(x)＝-x^2+2ex+m-1=-(x－e)^2+m-1+e^2\).
所以其图像的对称轴为\(x＝e\)，开口向下，
最大值为\(m-1+e^2\)，故当\(m-1+e^2>2e\)，即\(m>－e^2+2e+1\)时，
\(g(x)\)与\(f(x)\)有两个交点，即\(g(x)-f(x)=0\)有两个相异实根，
所以\(m\)的取值范围是\((-e^2+2e+1，+\infty)\)．
\(\fbox{例2}\)
函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，x\leq 0\\xlnx，x>0\end{cases}\)，\(g(x)=kx-1\)，若方程\(f(x)-g(x)=0\)在\(x\in(-2，2)\)有三个实根，则实数\(k\)的取值范围是【】
A.\((1，ln2\sqrt{e})\;\;\;\;\;\) B.\((ln2\sqrt{e}，\cfrac{3}{2})\;\;\;\;\;\) C.\((\cfrac{3}{2}，2)\;\;\;\;\;\) D.\((1，ln2\sqrt{e})\cup(\cfrac{3}{2}，2)\;\;\;\;\;\)
分析：显然\(x=0\)不是方程\(f(x)-g(x)=0\)的根，故可变形为\(k=\cfrac{f(x)+1}{x}\)，
设\(\phi(x)=\cfrac{f(x)+1}{x}=\begin{cases}x+\cfrac{1}{x}+4，x<0\\\cfrac{1}{x}+lnx，x>0\end{cases}\)，即\(k=\phi(x)\)在\(x\in(-2，2)\)有三个实根，
用导数方法研究函数\(\phi(x)\)的单调性，做出其图像
由图像可得，要使得函数\(y=k\)与函数\(y=\phi(x)\)有三个交点，则\(k\in (1，ln2\sqrt{e})\cup(\cfrac{3}{2}，2)\)
\(\fbox{例3}\)
若存在两个正实数\(x，y\)，使得等式\(3x+a(2y-4ex)\cdot(lny-lnx)=0\)成立，其中\(e\)为自然对数的底数，则\(a\)的取值范围是__________。\((-\infty，0)\cup [\cfrac{3}{2e}，+\infty)\)。
分析：由于\(x\neq 0\)，故两边同时除以\(x\)，二元变一元，变量集中，
得到\(3+a(2\cdot \cfrac{y}{x}-4e)\cdot ln\cfrac{y}{x}=0\)，令\(\cfrac{y}{x}=t>0\)，
则\(3+a(2t-4e)\cdot lnt=0\)，即\(a(2t-4e)\cdot lnt=-3\)，
由于\(a\neq 0\)，则上式变形为\((2t-4e)\cdot lnt=-\cfrac{3}{a}\)，
即存在正数\(t\)，使得方程\((2t-4e)\cdot lnt=-\cfrac{3}{a}\)成立，
令\(g(t)=(2t-4e)\cdot lnt\)，
例6若关于\(x\)的方程\((lnx-ax)lnx=x^2\)存在三个不等实根，则实数\(a\)的取值范围是_________。
分析：当\(x=1\)时，\(lnx=0\)，原式不成立，故不可能；
当\(lnx\neq 0\)时，\(lnx-ax=\cfrac{x^2}{lnx}\)，故\(ax=lnx-\cfrac{x^2}{lnx}\)，分离参数得到，
则\(a=\cfrac{lnx}{x}-\cfrac{x}{lnx}\)，令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x}-\cfrac{x}{lnx}\)，则\(y=a\)与\(y=h(x)\)的图像有三个交点，
\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}\cdot x-lnx}{x^2}-\cfrac{lnx-x\cdot \cfrac{1}{x}}{(lnx)^2}=\cfrac{1-lnx}{x^2}-\cfrac{lnx-1}{(lnx)^2}\)，\(x>0\)且\(x\neq 1\)，
当\(x\in (0，1)\)时，\(h'(x)>0\)，故\(h(x)\)单调递增；
当\(x>1\)时，\(h'(x)=\cfrac{(1-lnx)(lnx)^2-(lnx-1)\cdot x^2}{x^2\cdot (lnx)^2}\)
\(=\cfrac{((lnx)^2+x^2)\cdot (1-lnx)}{x^2\cdot (lnx)^2}\)
当\(x\in (1，e)\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，\(x\in (e，+\infty)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，
又\(h(e)=\cfrac{1}{e}-e\)，做出大致图像如下：
要使得则\(y=a\)与\(y=h(x)\)的图像有三个交点，必须\(a<\cfrac{1}{e}-e\)。